[미분방정식] 15. 매개변수 변환법 - Solution by Variation of Parameters

 이전 장에서 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)을 이용해서 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous)

$$y'' +p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

 의 particular solution을  구했습니다.

 그러나 이 방법은 사용할 수 있는 $r(x)$가 매우 제한적이었습니다.

 비제차 미분방정식을 풀이하는 좀 더 보편적인 방법이 매개변수 변환법(Solution by Variation of Parameters)입니다.

 매개변수 변환법

 매개변수 변환법에 의하면 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous)

$$y'' +p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

 의 particular solution은 다음과 같습니다.

$$y_p(x) = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

 $y_1, y_2$는 homogeneous ODE

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$$

의 두 basis이며,

 $W$는 $y_1 과 y_2$의 Wronskian입니다.

$$W = y_1y_2' - y_2y_1'$$

증명. 

 Homogeneous ODE

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$$

 의 general solution이

$$y_h = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$$

 인 것에서 유추하여

 Nonhomogeneous ODE

$$y'' +p(x)y' + q(x)y = r(x)$$

 의 particular solution을

$$y_p = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)$$

 로 유추합니다.

 $y_1과 y_2$의 계수를 상수가 아닌 함수로 생각하는 것입니다.

 그러면,

$$y_p' = u'y_1 + uy_1' + v'y_2 + vy_2'$$

 여기서 한 가지 가정을 추가합니다.

 가정 1. $\quad u'y_1 + v'y_2 = 0 \quad \cdots ~(*)$

 그러면,

$$y_p' = uy_1' + vy_2'$$

 으로 $y_p'$이 한결 간단해집니다.

 한번 더 미분하여 $y_p''$를 구합니다.

$$y_p'' = u'y_1' + uy_1'' + v'y_2' + vy_2''$$

 이 결과를 미분방정식에 대입하면,

$$(u'y_1' + uy_1'' + v'y_2' + vy_2'') + p(uy_1' + vy_2') + q(uy_1 + vy_2) = r$$

$$\Rightarrow \quad u(y_1'' + py_1' + qy_1) + v(y_2'' + py_2' + qy_2 ) +u'y_1' + v'y_2' = r$$

 여기서 $y_1과 y_2$는 homogeneous ODE의 두 basis이므로 

$$y'' + py' + qy = 0 $$

을 만족합니다.

$$\therefore \quad u'y_1' + v'y_2' = r\quad \cdots ~(**)$$

 (*)과 (**)을 연립하면,

$$u'(y_1y_2' - y_2y_1') = -y_2r\quad and \quad v'(y_1y_2' - y_2y_1') = y_2r$$

$$\Rightarrow \quad u'W = -y_2r \quad and \quad v'W = y_1r$$

$$W = Wronskian(y_1, y_2)  = y_1y_2'-y_2y_1'$$

$$\therefore \quad u' = -\frac{y_2r}{W}\quad and \quad v' = \frac{y_1r}{W}$$

적분하면,

$$u = -\int{\frac{y_2r}{W}dx}, \quad v = \int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

$$\therefore \quad y_p = uy_1 + vy_2 = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

 예제 1. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

$$y'' + y = \sec{x}$$

 Homogeneous ODE

$$y'' + y = 0$$

 의 Characteristic Equation을 구하면,

$$\lambda^2 + 1 = 0$$

$$\lambda = \pm i$$

$$\therefore \quad y_1 = \cos{x},\quad y_2 = \sin{x}$$

$$y_h = c_1\cos{x} + c_2\sin{x}$$

$$W(y_1, y_2) = \cos{x}\cdot\cos{x} - \sin{x}(-\sin{x}) = \cos{x}^2 + \sin{x}^2 = 1$$

 매개변수 변환법을 이용하면,

$$y_p = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

$$=-\cos{x}\int{\sin{x}(\sec{x})dx}+\sin{x}\int{\cos{x}(\sec{x})dx}$$

$$= -\cos{x}\int{\tan{x}dx} + \sin{x}\int{dx}$$

$$= -\cos{x}\ln{|\sec{x}|} + x\cdot \sin{x}$$

$$ = \cos{x}\ln{|\cos{x}|} + x\cdot\sin{x}$$

$$y = y_h + y_p =  c_1\cos{x} + c_2\sin{x} +  \cos{x}\ln{|\cos{x}|} + x\cdot\sin{x}$$